Carte jeune

Énoncé

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que, dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèderont la carte, et si oui elle voudrait savoir en quelle année cela se produira.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.

En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(a_n\) la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année  \(2018+n\) , et  \(b_n\)  la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

Partie A

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».

2. Déterminer la matrice de transition  \(T\)  de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.

3. a. Vérifier que  \(a_2=0,552\)  et  \(b_2=0,448\) .
    b. Interpréter le coefficient  \(0,552\)  dans le contexte de l'énoncé.

4. On note  \(a\)  et  \(b\)  les coefficients de la matrice  \(P\) correspondant à l'état stable de ce graphe.
    a. Montrer que les nombres  \(a\)  et  \(b\)  sont solutions du système  \(\begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\) .
    b. Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèderont la carte.

Partie B

On admet que, pour tout entier naturel  \(n, a_{n+1}=0,6a_n+0,3,\)  et que la suite  \((a_n)_n\in\mathbb{N}\)  est croissante.

1. Écrire un programme Python qui permet de calculer le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

D'après bac ES, Antilles-Guyane 2019