Carte jeune

Énoncé

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que, dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèderont la carte, et si oui elle voudrait savoir en quelle année cela se produira.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.

En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel  $n$ ,  $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année  $2018+n$ , et  $b_n$  la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

Partie A

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».

2. Déterminer la matrice de transition  $T$  de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.

3. a. Vérifier que  $a_2=0,552$  et  $b_2=0,448$ .
    b. Interpréter le coefficient  $0,552$  dans le contexte de l'énoncé.

4. On note  $a$  et  $b$  les coefficients de la matrice  $P$ correspondant à l'état stable de ce graphe.
    a. Montrer que les nombres  $a$  et  $b$  sont solutions du système  $\{\begin{array}{l}-0,1a+0,3b=0\\ a+b=1\end{array}$ .
    b. Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèderont la carte.

Partie B

On admet que, pour tout entier naturel  $n,a_{n+1}=0,6a_n+0,3,$  et que la suite  $(a_n{)}_n\in \mathbb{N}$  est croissante.

1. Écrire un programme Python qui permet de calculer le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

D'après bac ES, Antilles-Guyane 2019